Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη


Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x 
 
Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.



Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 
  




Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή
D = mω2

Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:  F = −Dx
(Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής ταλάντωσης. Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς (γιατί τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά επαναφοράς η τιμή της οποίας σχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήματος.

Μονάδα μέτρησης της σταθεράς επαναφοράς (D) είναι το Ν/m.


Διαγράμματα

Συνισταμένη δύναμη σε συνάρτηση με την απομάκρυνση 

 


Από την κλίση της ευθείας, 
μέσω της εφαπτομένης της 
γωνίας θ, μπορούμε να 
υπολογίσουμε τη σταθερά 
επαναφοράς D.










Πριν προχωρήσεις βεβαιώσου ότι θυμάσαι τις εξισώσεις κίνησης 


Συνισταμένη δύναμη σε συνάρτηση με τον χρόνο

Από την σχέση ΣF−Dx  και βάζοντας x=Αημ(ωt) παίρνουμε: ΣF=−DΑημ(ωt)  ή   

ΣF=−Fmax  ημ(ωt)               όπου Fmax= DΑ.

Το διάνυσμα της δύναμης στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι ομόρροπο με αυτό της επιτάχυνσης.

Τώρα δες με βάση την σχέση που αποδείξαμε για την περίπτωση που ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση (χωρίς αρχική φάση) το διάγραμμα της δύναμης σε σχέση με το χρόνο θα είναι:

Σχέση περιόδου (Τ) – σταθεράς επαναφοράς (D)

Θα δείξουμε ότι η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α της ταλάντωσης και η τιμή της καθορίζεται από τη μάζα m του σώματος και από τη σταθερά επαναφοράς D.
(Μάθε την απόδειξη)
Σχόλια:
Η σχέση D = mω2  συνδέει τρεις βασικές ιδιότητες:  
  • Αδράνεια (m) του κινούμενου σώματος.
  • «Ελαστικότητα» (D) του συστήματος, η ικανότητά του δηλαδή να επανέρχεται στη ΘΙ.
  • Eπανάληψη (T, f   ή ω) της κίνησης, το «πόσο γρήγορα» δηλαδή επαναλαμβάνεται η κίνηση.

Αρκεί επομένως να γνωρίζουμε δύο από τις τρεις βασικές ιδιότητες του συστήματος, αφού από τη σχέση D = m·ω2 μπορούμε να βρούμε και την τρίτη.
Τονίζεται, ότι οι τιμές των m, D, ω εξαρτώνται μόνο από τα χαρακτηριστικά του συστήματος που μελετάμε και δεν εξαρτώνται από την ενέργεια, το πλάτος ή οποιοδήποτε άλλο μέγιστο της ΑΑΤ που μπορεί να εκτελεί το σύστημα αυτό.

Παρατηρήσεις σχετικά με τη σταθερά επαναφοράς D του συστήματος (σε κάποια θα αναφερθούμε αναλυτικότερα παρακάτω, αλλά διάβασε τα από τώρα):
  1. Η σταθερά D μπορεί να συμπίπτει με κάποιο άλλο φυσικό μέγεθος (όπως π.χ. στις ταλαντώσεις με ελατήρια όπου D = k), ή μπορεί να είναι συνδυασμός κάποιων φυσικών μεγεθών.
  2. Η σταθερά επαναφοράς προκύπτει και από τη διαδικασία που ακολουθούμε για να αποδείξουμε ότι ένα σώμα εκτελεί ΑΑΤ: Αποδεικνύοντας ότι ή συνισταμένη δύναμη ΣF είναι ανάλογη με την απομάκρυνση x, ότι ισχύει δηλαδή η σχέση ΣF = –D·x, υπολογίζουμε ταυτόχρονα και τη τιμή της σταθεράς D.
  3. Η σταθερά D είναι το μόνο μέγεθος που σχετίζεται με την πραγματική φύση του ταλαντούμενου συστήματος.
  4. Γενικότερα, αν σε ένα σύστημα ικανοποιείται η συνθήκη ΣF = –D·x τότε αυτό είναι ικανό να εκτελέσει AΑΤ, αλλά για να τη χαρακτηρίσουμε ΑΑΤ και να ισχύει και η ΑΔΜΕ, θα πρέπει πρώτα να εξασφαλίσουμε ότι οι δυνάμεις που απαρτίζουν τη δύναμη επαναφοράς είναι συντηρητικές.


Παρατηρήσεις σχετικά με τη δύναμη επαναφοράς:

Από τη σχέση ΣF = –D·x για ένα σώμα που εκτελεί ΑΑΤ μπορούμε για την δύναμη επαναφοράς να συνοψίσουμε τα εξής:
  1. Έχει ως φορέα την ευθεία πάνω στην οποία γίνεται η ταλάντωση του σώματος.
  2. Είναι ανάλογη µε την απομάκρυνση του σώματος από την Θέση Ισορροπίας.
  3. Έχει αντίθετη φορά από την απομάκρυνση του σώματος και πάντοτε προς την θέση ισορροπίας.
  4. Στην θέση ισορροπίας ισχύει ΣF = 0.



Ετικέτες

Σχόλια

  1. Unknown28 Αυγούστου 2015 στις 3:07 μ.μ.

    Φοβερη δουλεια !!! Ευχαριστω για την αναλυτικη περιγραφη :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ανώνυμος1 Σεπτεμβρίου 2015 στις 2:49 μ.μ.

    Μια ερωτηση θα ηθελα να κανω. Οταν ενα ελατηριο εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση τοτε το χ στον τυπο F=-kx αποτυπωνει την αποσταση απο τη θ.φ.μ. ! Στον τυπο ομως ΣF=-Dx στην ιδια περιπτωση το χ αποτυπωνει την αποσταση απο τη θ.ι. ή απο τη θεση φ.μ.( οταν δεν συμπιπτει η θ.ι. με τη θεση φ.μ.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος1 Σεπτεμβρίου 2015 στις 5:26 μ.μ.

      Η συνθήκη ΣF=-Dx αναφέρεται στην ταλάντωση αρα το x το μετράμε απο την ΘΙΤ (θεση ισορροπίας ταλαντωσης). Ενώ η Fελ=kx αναφερεται στην δύναμη που ασκει το ελατηριο στο σωμα αρα σε οποιαδηποτε περίπτωση το x το μετραμε απο ΘΦΜ (θεση φυσικού μήκους).

      Διαγραφή
    2. Ανώνυμος2 Σεπτεμβρίου 2015 στις 5:27 μ.μ.

      Σας ευχαριστω πολυ, πολυ καλη η δουλεια σας!

      Διαγραφή
  3. Ανώνυμος2 Σεπτεμβρίου 2015 στις 1:25 μ.μ.

    τι διαφορα ακριβως εχει η δυναμη επαναφορας με τη δυναμη ελατηριου;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος2 Σεπτεμβρίου 2015 στις 1:34 μ.μ.

      Η δύναμη επαναφοράς ειναι η συνισταμένη δυναμη που ασκείται στο σωμα (για παράδειγμα στο κατακορυφο ελατήριο αποτελείται απο την δύναμη του ελατηριου και το βαρος). Ενω η δυναμη του ελατηριου ειναι αποκλειστικά αυτη που αναπτύσσεται απο το ελατηριο. Στην πιο απλή περίπτωση ταλαντωσης, στο οριζοντιο επιπεδο (οπου δεν ασκουνται αλλες δυναμεις στην διευθυνση της κινησης) η δύναμη επαναφοράς ειναι ιση με τη δυναμη του ελατηριου. Ελπιζω να σε βοήθησα.

      Διαγραφή
    2. Ανώνυμος2 Σεπτεμβρίου 2015 στις 8:49 μ.μ.

      ευχαριστω πολυ!

      Διαγραφή
  4. Ανώνυμος30 Σεπτεμβρίου 2015 στις 12:53 μ.μ.

    σε περιπτωση που εχουμε συστημα ελατηριων με νημα και τροχαλια τι κανουμε?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος1 Οκτωβρίου 2015 στις 9:29 π.μ.

      Αυτο που αναφέρεις είναι πολύ γενικό, αν εχεις κάποια συγκεκριμένη ασκηση στο μυαλό σου μπορεις να μου τη στείλεις στο mail μου.

      Διαγραφή
  5. JHRoss11 Ιανουαρίου 2016 στις 5:35 μ.μ.

    Όταν γράψουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα σε αλγεβρική μορφή (πχ στην ΑΑΤ) ποια θα θεωρούμε θετική φορά?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος12 Ιανουαρίου 2016 στις 10:54 π.μ.

      Μπορείς να ορίσεις ως θετική φορά οποιαδήποτε θέλεις, αλλά συνήθως ορίζουμε την προς τα δεξιά.

      Διαγραφή
  6. Ανώνυμος4 Φεβρουαρίου 2016 στις 5:49 μ.μ.

    Ποια είναι τα χαρακτηριστικά στοιχεία μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης;Ποιό είναι το κριτήριο ώστε σώμα κινούμενο να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση;Ευχαριστω πολυ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Ανώνυμος7 Ιανουαρίου 2017 στις 7:27 μ.μ.

    Απο τι εξαρταται το πλατος μιας αατ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος11 Ιανουαρίου 2017 στις 5:45 μ.μ.

      Το πλάτος εξαρταται αποκλειστικά απο την ενέργεια που προσφέρουμε στον ταλαντωτη ωστε να εκτελέσει αατ. Ο τυπος της ενεργειας ειναι: Ε=DA^2/2. Επισης, ακολουθήστε το λινκ για περισσότερες πληροφορίες. http://www.g-physics.com/2012/08/blog-post.html

      Διαγραφή
  8. Unknown5 Μαρτίου 2017 στις 6:17 μ.μ.

    Η Fελmax μετά από κρούση και ταλάντωση το F=-Kl με l=; Το καινούργιο Α ή είναι κάτι με τα l ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος6 Μαρτίου 2017 στις 11:13 π.μ.

      Η Fελ δίνεται απο τη σχέση Fελ=KΔl όπου Δl είναι η απόσταση απο τη θεση που έχει βρεθεί το ελατήριο (συμπίεση ή επιμήκυνση) σε σχέση με τη θέση που το ελατήριο εχει το φυσικό του μηκος. Αν το ελατηριο ειναι οριζοντιο και δεν ασκούνται αλλες δυνάμεις στη διεύθυνση του ελατηριου τοτε Fελmax=kA' οπως γραφεις. Αν το ελατηριο ειναι κατακορυφο τοτε Fλεmax=k(Δl+A') με Δl η αποσταση μεταξυ φυσικου μηκους και θεσης ισορροπιας.

      Διαγραφή
  9. Unknown17 Μαρτίου 2017 στις 10:13 μ.μ.

    όταν μας ζητείται η Fελ min σε οριζόντιο ή κατακόρυφο ελατήριο τι ισχύει;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Ανώνυμος1 Μαΐου 2017 στις 12:18 μ.μ.

    Στη σχεση D=mω^2 αν αλλαξουμε το ω (αυξησουμε η μειωσουμε) τι γινεται ακριβως;;
    Το D(=k στην περιπτωση ελατηριο-σωμα) δεν γινεται να αλλαξει καθως εξαρταται απο τα φυσικα χαρακτηριστικα του ταλαντωτη. αλλαζει η μαζα δλδ προκειμενου να ειναι σταθερο το γινομενο;;
    Αν σε αλλη περιπτωση μεταβαλλουμε τη μαζα τι γινεται παλι;;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος1 Μαΐου 2017 στις 8:31 μ.μ.

      Αλλάζοντας το ω σε μια ιδανική ταλάντωση προφανώς θα μεταβληθεί η σταθερά επαναφοράς D, με δεδομένο οτι η μάζα δεν μπορεί να αλλάξει.

      Διαγραφή
  11. Unknown5 Μαΐου 2017 στις 1:51 μ.μ.

    Ευχαριστω :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Ανώνυμος14 Μαΐου 2017 στις 12:46 μ.μ.

    Για το έργο της συνισταμένης δύναμης που δέχεται ένα ταλαντούμενο σώμα τι ισχυει;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. Unknown16 Μαΐου 2017 στις 9:35 μ.μ.

    Πολυ βοηθητικο! Εχω μια ερωτηση! Αν το ταλαντουμενο σωμα συγκρουστει με ενα αλλο και δημιουργηθει συσσωματωμα, η σταθερα επαναφορας μενει σταθερη, και αλλαζει η γωνιακη συχνοτητα ω? Επισης, καθε σωμα του συσσωματωματος εχει διαφορετικη σταθερα επαναφορας?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος16 Μαΐου 2017 στις 9:52 μ.μ.

      Ισχυουν οπως τα περιγράφεις. Κάθε σωμα θα έχει δικη του σταθερά και θα την υπολογίζεις απο τη γνωστή σχέση D=mω^2 με κοινό στοιχείο τη γωνιακή συχνότητα (για επαλήθευση να εχεις στο μυαλό σου D=D1+D2).

      Διαγραφή
  14. Ανώνυμος17 Ιουλίου 2017 στις 8:09 μ.μ.

    Συγχαρητήρια και από εμένα!! Μια ερώτηση μόνο σχετικά με το έργο των συντηρητικών δυνάμεων. Στις ταλαντώσεις υπολογίζεται το WFελ=Uελαρχ-Uελτελ. Ο τύπος αυτός με τη διαφορά δυναμικών ενεργειών του ελατηρίου δηλώνει ότι η Fελ είναι συντηρητική δύναμη; Γιατί;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος17 Ιουλίου 2017 στις 8:50 μ.μ.

      Σε ευχαριστώ για τα λόγια σου. Μια δύναμη καλείται συντηρητική όταν συντηρεί την ενέργεια, για να συμβαίνει κατι τετοιο δεν πρέπει να υπάρχουν απώλειες αρα οι δυνάμεις που αναπτύσσονται πρέπει να είναι «ελαστικές» κάτι το οποίο ισχύει εξορισμού για τα ελατήρια που είναι ιδανικα. :-)

      Διαγραφή
    2. Ανώνυμος17 Ιουλίου 2017 στις 9:50 μ.μ.

      Ναι σωστά, σας ευχαριστώ πολύ! :)

      Διαγραφή
  15. elen17 Νοεμβρίου 2017 στις 8:50 μ.μ.

    Χαιρομαι τοσο που σας ανακαλυψα σημερα.Δε ξερω την τυφλα μου αλλα εδω κατι θα μαθω!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Unknown7 Σεπτεμβρίου 2018 στις 6:09 μ.μ.

    πωε βρισκουμε το εργο της συνισταμενης δυναμης και το εργο του βαρους?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  17. Ανώνυμος23 Μαΐου 2020 στις 6:20 μ.μ.

    Καλησπέρα σας και συγχαρητήρια για την καταπληκτική δουλειά σας. Θα ήθελα να ρωτήσω, το διάγραμμα την Fελ σε σχέση με την απομάκρυνση του ελατηρίου από την θέση ισορροπίας είναι ίδιο με αυτό της δύναμης επαναφοράς ΣF;;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  18. Ανώνυμος28 Οκτωβρίου 2020 στις 12:12 μ.μ.

    Αν δεν μου δίνεται η περίοδος Τ τι πρέπει να κάνω για να βρω την σταθερά?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  19. Ανώνυμος22 Φεβρουαρίου 2021 στις 12:02 μ.μ.

    Καλησπέρα σας! Όταν βρισκόμαστε σε οριζόντιο ελατήριο και καλούμαστε να βρούμε το έργο της δύναμης επαναφοράς, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι Wfελ=Wfεπ επειδή Fελ=Fεπ ή πρέπει να εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γεωργάκης Κωνσταντίνος22 Φεβρουαρίου 2021 στις 1:19 μ.μ.

      Καλησπέρα, ναι φυσικά μπορείς να θεωρήσεις κάτι τέτοιο με την προϋπόθεση πως δεν ενεργεί άλλη δύναμη πέρα της Fελ. Αλλά όπως και να έχει το ΘΜΚΕ πάντα αποτελεί μια καλή λύση.

      Διαγραφή

Δημοσίευση σχολίου

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά. (Σκέψου μερικά ακόμη …) Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά: Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου. Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec . Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή:        Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec -1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz) . Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνό...
12 σχόλια
Διαβάστε περισσότερα

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση).  Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια  της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε  να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει  σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της. Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη F εξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς.  Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο ...
10 σχόλια
Διαβάστε περισσότερα

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες. Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.   Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook , δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν ...
14 σχόλια
Διαβάστε περισσότερα

Πως αποδεικνύουμε ότι ένα σώμα κάνει απλή αρμόνική ταλάντωση

Το είδες εδώ , τώρα λίγο πιο αναλυτικά. Σε ασκήσεις που έχουμε ένα σώμα συνδεδεμένο με ένα ελατήριο και μας ζητείται να αποδείξουμε ότι σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δουλεύουμε πάντα έχοντας στο μυαλό μας ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι σε μιά τυχαία θέση της κίνησης του σώματος η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε αυτό μπορεί να γραφεί στη μορφή:  Σ F=-Dx Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Σχεδιάζουμε το ελατήριο στη θέση φυσικού μήκους (ΘΦΜ). 2. Σχεδιάζουμε το σύστημα ελατήριο - σώμα στη θέση ισορροπίας του (Θ.Ι.) και   σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. (γράφουμε:)  Στη θέση ισορροπίας του συστήματος ισχύει   ΣF=0 Από τη σχέση αυτή για τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση ισορροπίας προκύπτει μια συνθήκη για τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα στην κατάσταση ισορροπίας. Δηλαδη:  Σ F =0  ή   mg - F ελ  =0   ή    mg = kx 1  (1) ...
3 σχόλια
Διαβάστε περισσότερα

Ταλάντωση και πλαστική κρούση

Θυμήσου την ορμή:  Για ένα σώμα μάζας m που κινείται µε ταχύτητα u η ορμή του p δίνεται από τη σχέση: p=mu Η ορμή p είναι ένα διανυσματικό μέγεθος το ο­ποίο έχει: μέτρο p = m u , διεύθυνση και φορά ίδια µε τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας u , μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 kg ∙ m/s (ισοδύναμη μονάδα είναι το 1 Ν∙s). Η ορμή, ως διανυσματικό μέγεθος, έχει όλες τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Έτσι: μπορεί ν' αναλυθεί σε άξονες, δηλαδή σε συ­νιστώσες p x και p y, μεταβάλλεται αν μεταβληθεί τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία της, δηλαδή το μέτρο της, η διεύθυνσή της ή η φορά της. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (dp/dt) ισούται με την δύναμη ή τη συνισταμένη των δυνάμεων (ΣF) που ασκούνται στο σώμα. Προσοχή: Όταν στις ασκήσεις πρέπει να υπολογίσεις την μεταβολή της ορμής τότε θα υπολογίζεις την σχέση:    Δp = p τελ – p αρχ Ενώ όταν  ζητείται ο ρυθμό μεταβολής της ορμής θα υπολογίζεις τη σχέση:...
Δημοσίευση σχολίου
Διαβάστε περισσότερα

Αρχική Φάση Στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.) - Μεθοδολογία και Ασκήσεις

Σκοπός: Η ανάπτυξη δεξιοτήτων στις τριγωνομετρικές εξισώσεις σε συνδυασμό με τα βασικά μεγέθη της απλής αρμονικής ταλάντωσης .  Απαιτούμενες γνώσεις: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις – Εξισώσεις στην Α.Α.Τ. Βασικές παρατηρήσεις:  1. Η ταλάντωση ενός σώματος δεν έχει αρχική φάση μόνο στην κατάσταση κατά την οποία τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του έχοντας θετική ταχύτητα. Σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση η ταλάντωση του σώματος έχει αρχική φάση και την υπολογίζουμε μέσω των τριγωνομετρικών εξισώσεων.  2. Η αρχική φάση μιας απλής αρμονικής με βάση το σχολικό βιβλίο παίρνει τιμές:  0≤φο<2π rad. 3. Για να προσδιορίσουμε την αρχική φάση πρέπει να γνωρίζουμε σε κάποια χρονική στιγμή (συνήθως τη στιγμή t=0) την κατάσταση που βρίσκεται ο ταλαντωτής (δηλαδή, τις αλγεβρικές τιμές τουλάχιστον δύο μεγεθών: ταχύτητα, θέση, επιτάχυνση). Απλές ασκήσεις εφαρμογής των παραπάνω. 1. Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρεθεί η αρχική φάση της ταλάν...
Δημοσίευση σχολίου
Διαβάστε περισσότερα

Κεντρομόλος δύναμη, φυγόκεντρος δύναμη και μπογιά: Τέχνη.

Κεντρομόλος δύναμη: Όταν ένα σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση, δηλαδή περιστρέφεται διαγράφοντας κύκλο γύρω από ένα σταθερό σημείο στον χώρο, τότε στο σώμα ασκείται δύναμη η οποία έχει φορά προς το κέντρο του κύκλου αυτού που διαγράφει η τροχιά του. Αυτή η δύναμη ονομάζεται κεντρομόλος. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η συνιστώσα της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα κατά τη διεύθυνση που ορίζει κάθε στιγμή η θέση του με το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του, έχει κατεύθυνση (φορά) προς το κέντρο αυτό και είναι κάθε χρονική στιγμή κάθετη στην ταχύτητα του σώματος. Φυγόκεντρος δύναμη: Η φυγόκεντρος δύναμη είναι φαινόμενη (ψευδής) δύναμη που «αισθάνεται» ένα σώμα το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση, η οποία μοιάζει να το σπρώχνει (ή να το τραβά) να φύγει από την κυκλική του τροχιά, προς τα έξω. Κάθε σώμα που κινείται σε μη επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς τείνει να διατηρήσει την ταχύτητα προς την κατεύθυνση που έχει κάθε στιγμή. Η εξανάγκαση ενός σώματος να κινείται κυκλικά και όχι ευθύγρ...
Δημοσίευση σχολίου
Διαβάστε περισσότερα

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ , αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι. 
Δημοσίευση σχολίου
Διαβάστε περισσότερα

Η διαίρεση με το μηδέν και μια απόδειξη ότι ο περιπτεράς της γειτονιάς σας είναι καρότο.

Ένα πρόβλημα στα μαθηματικά είναι οι πράξεις με το μηδέν και ιδιαίτερα η διαίρεση με παρονομαστή το μηδέν. Γύρω από αυτό το πρόβλημα (ή την απροσδιοριστία αν θέλεις) έχουν γραφτεί διάφορα, πολλά από τα οποία ήταν μπούρδες, περί αποδείξεως του θεού κι άλλα τέτοια. Το παρακάτω κείμενο το οποίο το άντλησα από το blog Μαθη...μαγικα σου εξηγεί το εξής: πως μπορείς να αποδείξεις το οτιδήποτε κάνοντας μια λάθος μαθηματική υπόθεση. Για δες:  «Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;» «Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.» « Οι ροζ ή οι άσπροι;»    Το μηδέν δεν πειθαρχεί σε όλους τους κανόνες των αριθμών.O Ινδός μαθηματικός  Βραχμαγκούπτα παρότι ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε μαζί του ενδελεχώς, ομολογουμένως δεν κατάφερε να χειριστεί την διαίρεση. Την διαίρεσή ενός αριθμού με το μηδέν.Ο μεταγενέστερος του, επίσης Ινδός μαθηματικός Μπασκάρα γνώριζε ότι όσο μικρότερος είναι ο διαιρέτης σε μια διαίρεση τόσο  μεγαλύτερο είναι το πη...
Δημοσίευση σχολίου
Διαβάστε περισσότερα