Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.

Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.

 

Ιδανικό ελατήριο

Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα.

[Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

Νόμος του Hooke

Οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι ανάλογες των δυνάμεων που τις προκαλούν.

F_ελ = k ⋅ x

x: η παραμόρφωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος (Θ.Φ.Μ)

k: η σταθερά του ελατηρίου που εκφράζει τη σκληρότητα του και μετριέται σε Ν/m.

l_ο: το φυσικό μήκος του ελατηρίου όταν δεν είναι παραμορφωμένο.  

Όπως βλέπεις από το σχήμα η δύναμη του ελατηρίου (F_ελ) έχει πάντα φορά προς την Θ.Ι. ή Θ.Φ.Μ, που στην περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου αυτές οι δυο ταυτίζονται (Θ.Ι. = Θ.Φ.Μ)

Θυμήσου: δύναμη επαναφοράς 


Οριζόντιο ελατήριο

Όταν ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου και κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο (εκτελώντας γραμμική αρμονική ταλάντωση, ΓΑΤ), τότε στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Επίσης, σε κάθε σημείο, αφού ασκείται μόνο μια δύναμη (αυτή του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) θα ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου (F_ελ).

Σε κάθε τυχαία θέση η απομάκρυνση x από την θέση ισορροπίας συμπίπτει με την επιμήκυνση ή τη συσπείρωση του ελατηρίου και για την δύναμη επαναφοράς ισχύει: 

ΣF = -F_ελ =-kx

Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.

Κατακόρυφο ελατήριο

Όταν ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (εκτελώντας γραμμική αρμονική ταλάντωση, ΓΑΤ), τότε στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. Επίσης, σε κάθε σημείο, αφού ασκείται και η δύναμη του βάρους (εκτός από τη δύναμη του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) δεν θα ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου (F_ελ).

Στη Θ.Ι. ισορροπίας του σώματος το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά x₁ και ισχύει: 

 ΣF =0  ή   mg - F_ελ =0   ή   mg = kx₁ (1)

Σε μια τυχαία θέση του σώματος όπου η απομάκρυνση  από την Θ.Ι.  του είναι x, ισχύει: 

ΣF = mg – F΄_ελ = mg – k(x₁+x)

Η οποία λόγω της σχέσης (1) γίνεται: ΣF = -kx= -Dx

Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.

Προσοχή: την απόσταση (x) για την F_ελ (ή την F΄_ελ … ) την μετράμε πάντα από το την Θέση Φυσικού Μήκους.

Ελατήριο σε κεκλιμένο επίπεδο

Σε αντιστοιχία με το κατακόρυφο ελατήριο, έτσι και στο κεκλιμένο επίπεδο στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. Επομένως με βάση το σχήμα στη Θ.Ι. ισχύει: 

ΣF =0  ή -w_x + F_ελ =0 ή mgημφ = kx₁ (2)

Σε μια τυχαία θέση του σώματος όπου η απομάκρυνση  από την Θ.Ι.  του είναι x, ισχύει: 

ΣF = F΄_ελ - w_x =  k(x₁-x) -  mgημφ

Η οποία λόγω της σχέσης (2) γίνεται:

ΣF = -kx= -Dx, 

άρα το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.